Math单元详解

**************************Math数学单元*********************************

Delphi / Kylix 跨平台运行时（Runtime）库

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这个单元包含高性能的算术、三角、对数、统计和金融方面的计算及FPU程序函数用于补充Delphi语言System.pas 单元中的数学常规程序函数

参考：

1) P.J. Plauger, "The Standard C Library", Prentice-Hall, 1992, Ch. 7. 《标准C程序库》

2) W.J. Cody, Jr., and W. Waite, "Software Manual For the Elementary Functions", Prentice-Hall, 1980.《软件手册初步》

3) Namir Shammas, "C/C++ Mathematical Algorithms for Scientists and Engineers", McGraw-Hill, 1995, Ch 8.《C/C++ 数学的运算法则对于科学家和工程师》

4) H.T. Lau, "A Numerical Library in C for Scientists and Engineers", CRC Press, 1994, Ch. 6.《C语言中的数字的程序库对于科学家和工程师》

5) "Pentium(tm) Processor User's Manual, Volume 3: Architecture and Programming Manual", Intel, 1994《Pentium(tm) 处理器使用手册,第 3 册: 体系结构和程序手册》

注意

1) 对于有些函数，这个单元中涉及的概念或常数由Earl F. Glynn (www.efg2.com) 和 Ray Lischner (www.tempest-sw.com)提供。

2) 所有的角度参数三角函数的结果都用弧度表示

3) 下列大部分的三角和对数程序直接的映射到Intel 80387 FPU

4) 浮点机指令、输入域、输出范围和错误处理主要由 FPU 硬件决定

5) 汇编程序中的代码支持Pentium FPU 管线体系

l 常数

IEEE 浮点类型的范围, 包括非正规的

1) MinSingle = 1.5e-45; 最小Single数

2) MaxSingle = 3.4e+38; 最大Single数

3) MinDouble = 5.0e-324; 最小Double数

4) MaxDouble = 1.7e+308; 最大Double数

5) MinExtended = 3.4e-4932; 最小Extended数

6) MaxExtended = 1.1e+4932; 最大Extended数

7) MinComp = -9.223372036854775807e+18; 最小Comp数

8) MaxComp = 9.223372036854775807e+18; 最大Comp数

下列常数不应当被用于比较关系，仅仅用于分配。若要用于比较关系请使用IsNan 和 IsInfinity 函数。（已提供在后面）

9) NaN = 0.0 / 0.0; 非数 (*$EXTERNALSYM NaN*) (*$HPPEMIT 'static const Extended NaN = 0.0 / 0.0;'*)

10) Infinity = 1.0 / 0.0; 正无穷大 (*$EXTERNALSYM Infinity*) (*$HPPEMIT 'static const Extended Infinity = 1.0 / 0.0;'*)

11) NegInfinity = -1.0 / 0.0; 负无穷大 (*$EXTERNALSYM NegInfinity*) (*$HPPEMIT 'static const Extended NegInfinity = -1.0 / 0.0;'*)

一、 三角函数

1) 函数 ArcCos(const X: Extended): Extended; （ IN: |X| <= 1 OUT: [0..PI] 弧度）

2) 函数 ArcSin(const X: Extended): Extended; （IN: |X| <= 1 OUT: [-PI/2..PI/2] 弧度）

3) 函数 ArcTan2(const Y, X: Extended): Extended; IN: |Y| < 2^64, |X| < 2^64, X <> 0 OUT: [-PI..PI] 弧度）。计算 ArcTan(Y/X), 并且返回一个正确象限内的角度

4) 过程 SinCos(const Theta: Extended; var Sin, Cos: Extended) register；

SinCos：比分别调用Sin 和Cos 计算同一个角度快两倍

5) 函数 Tan(const X: Extended): Extended;

6) 函数 Cotan(const X: Extended): Extended; { 1 / tan(X), X <> 0 }

7) 函数 Secant(const X: Extended): Extended; { 1 / cos(X) }

8) 函数 Cosecant(const X: Extended): Extended; { 1 / sin(X) }

9) 函数 Hypot(const X, Y: Extended): Extended; { Sqrt(X**2 + Y**2) }

二、 角度单位换算程序

1) 函数 RadToDeg(const Radians: Extended): Extended; { 度数:= 弧度 * 180 / PI }

2) 函数 RadToGrad(const Radians: Extended): Extended; { 梯度:= 弧度 * 200 / PI }

3) 函数 RadToCycle(const Radians: Extended): Extended;{ 圆周:= 弧度 / 2PI }

4) 函数DegToRad(const Degrees: Extended): Extended; {弧度:= 度数* PI / 180}

5) 函数DegToGrad(const Degrees: Extended): Extended;

6) 函数DegToCycle(const Degrees: Extended): Extended;

7) 函数GradToRad(const Grads: Extended): Extended; {弧度:= 梯度 * PI / 200 }

8) 函数GradToDeg(const Grads: Extended): Extended;

9) 函数GradToCycle(const Grads: Extended): Extended;

10) 函数CycleToRad(const Cycles: Extended): Extended; {弧度:= 圆周* 2PI }

11) 函数CycleToDeg(const Cycles: Extended): Extended;

12) 函数CycleToGrad(const Cycles: Extended): Extended;

三、双曲线函数

1) 弧度 Cot(const X: Extended): Extended; { 别名为 Cotan }

2) 函数 Sec(const X: Extended): Extended; { 别名为 Secant }

3) 函数 Csc(const X: Extended): Extended; { 别名为 Cosecant }

4) 函数 Cosh(const X: Extended): Extended;

5) 函数 Sinh(const X: Extended): Extended;

6) 函数 Tanh(const X: Extended): Extended;

7) 函数 CotH(const X: Extended): Extended;

8) 函数 SecH(const X: Extended): Extended;

9) 函数 CscH(const X: Extended): Extended;

10) 函数 ArcCot(const X: Extended): Extended; { IN: X <> 0 }

11) 函数 ArcSec(const X: Extended): Extended; { IN: X <> 0 }

12) 函数 ArcCsc(const X: Extended): Extended; { IN: X <> 0 }

13) 函数 ArcCosh(const X: Extended): Extended; { IN: X >= 1 }

14) 函数 ArcSinh(const X: Extended): Extended;

15) 函数 ArcTanh(const X: Extended): Extended; { IN: |X| <= 1 }

16) 函数 ArcCotH(const X: Extended): Extended; { IN: X <> 0 }

17) 函数 ArcSecH(const X: Extended): Extended; { IN: X <> 0 }

18) 函数 ArcCscH(const X: Extended): Extended; { IN: X <> 0 }

四、 对数函数

1) 函数 LnXP1(const X: Extended): Extended; { Ln(X + 1), accurate for X near zero }

2) 函数 Log10(const X: Extended): Extended; { 基数为10的X对数}

3) 函数 Log2(const X: Extended): Extended; {基数为2的X对数}

4) 函数 LogN(const Base, X: Extended): Extended; {基数为N的X对数}

五、 指数函数

1) 函数 IntPower(const Base: Extended; const Exponent: Integer): Extended register;

IntPower：任意基数Base的Exponent整数幂。快

2) 函数 Power(const Base, Exponent: Extended): Extended;

Power：任意基数的任意幂； 对于分指数或 |指数| > MaxInt， 基数必须> 0.

六、 各种例程

1) 过程 Frexp(const X: Extended; var Mantissa: Extended; var Exponent: Integer) register;

Frexp：分离X 的尾数和指数

2) 函数 Ldexp(const X: Extended; const P: Integer): Extended register;

Ldexp：返回 X*2^P

3) 函数 Ceil(const X: Extended):Integer;

Ceil：最小整数>= X, |X| < MaxInt

4) 函数 Floor(const X: Extended): Integer;

Floor：最大整数<= X, |X| < MaxInt

5) 函数 Poly(const X: Extended; const Coefficients: array of Double): Extended;

Ploy：计算一元多项式A[0] + A[1]*X + ... + A[N]*X^N 在变量为X时的值。

七、 统计函数

对于这些统计的和财政函数，普通的商业表宏名字已经写在每个函数后面的注释中

1) 函数 Mean(const Data: array of Double): Extended；

算术平均值(AVG): SUM / N ；SUM(Data) / (High(Data) - Low(Data) + 1)

2) 函数 Sum(const Data: array of Double): Extended register；求Double数的和 (SUM) }

3) 函数 SumInt(const Data: array of Integer): Integer register；求Integer数和

4) 函数 SumOfSquares(const Data: array of Double): Extended；Double平方和

5) 过程 SumsAndSquares(const Data: array of Double; var Sum, SumOfSquares: Extended) register；返回Double总和、平方和

6) 函数 MinValue(const Data: array of Double): Double；返回Double数组中最小数(MIN)

7) 函数 MinIntValue(const Data: array of Integer): Integer；返回Integer数组中最小数(MIN)

8) 函数 Min(const A, B: Integer): Integer; overload；返回最小整数

9) 函数 Min(const A, B: Int64): Int64; overload；返回最小Int64数

10) 函数 Min(const A, B: Single): Single; overload； 返回最小Single数

11) 函数 Min(const A, B: Double): Double; overload； 返回最小Double数

12) 函数 Min(const A, B: Extended): Extended; overload；返回最小Extended数

13) 函数 MaxValue(const Data: array of Double): Double；返回Double数组最大数（MAX）

14) 函数 MaxIntValue(const Data: array of Integer): Integer；返回Integer数组最大数

15) 函数 Max(const A, B: Integer): Integer; overload；返回最大Integer数

16) 函数 Max(const A, B: Int64): Int64; overload；返回最大Int64数

17) 函数 Max(const A, B: Single): Single; overload；返回最大Single数

18) 函数 Max(const A, B: Double): Double; overload；返回最大Double数

19) 函数 Max(const A, B: Extended): Extended; overload；返回最大Extended数

20) 函数 StdDev(const Data: array of Double): Extended；

样本标准偏差STD； Sqrt(Variance(Data))

21) 过程 MeanAndStdDev(const Data: array of Double; var Mean, StdDev: Extended)；

在一次调用中计算算术平均值（Mean）和标准偏差(StdDev)

22) 函数 PopnStdDev(const Data: array of Double): Extended；

总体标准差；Sqrt(PopnVariance(Data))

23) 函数 Variance(const Data: array of Double): Extended；

采样方差（样品方差）；TotalVariance(Data) / (High(Data) - Low(Data))

24) 函数 PopnVariance(const Data: array of Double): Extended；

总体方差：(VAR or VARP): TotalVariance/ N }； TotalVariance(Data) / (High(Data) - Low(Data) + 1)

25) 函数 TotalVariance(const Data: array of Double): Extended;

方差总合：SUM(i=1,N)[(X(i) - Mean)**2] ；SumSquares - Sqr(Sum)/(High(Data) - Low(Data) + 1)

26) 函数 Norm(const Data: array of Double): Extended;

欧几里得L2-范数Sqrt(SumOfSquares) }

27) 过程 MomentSkewKurtosis(const Data: array of Double; var M1, M2, M3, M4, Skew, Kurtosis: Extended);

MomentSkewKurtosis:：计算统计分解的核心因数

M1：平均值（Mean）

M2：方差（Variance）

Skew：反映分布的对称性[M3 / (M2**(3/2))]

Kurtosis：反映分布的平坦性[M4 / Sqr(M2)]

28) 函数 RandG(Mean, StdDev: Extended): Extended;

RandG：产生一个随机数，随机数符合正态分布于Mean数附近，用于模拟数据抽取样品误差

八、 普通/混杂函数

1. 极端测试：

1) 函数 IsNan(const AValue: Double): Boolean; overload;

比如infinity, NaN 双精度值有7FF指数, 而且NaN 值有不为0的分数域

2) 函数 IsNan(const AValue: Single): Boolean; overload;

3) 函数 IsNan(const AValue: Extended): Boolean; overload;

4) 函数 IsInfinite(const AValue: Double): Boolean;

比如 NaN, 一个infinity 双精度值有一个7FF指数, 但是infinity 值有一个0分数域（have a fraction field of 0）。Infinity 值能够在最高符号位被指定为正数或负数

2. 简单符号测试

type

TValueSign = -1..1;

const

NegativeValue = Low(TValueSign);

ZeroValue = 0;

PositiveValue = High(TValueSign);

1) 函数 Sign(const AValue: Integer): TValueSign; overload;

2) 函数 Sign(const AValue: Int64): TValueSign; overload;

3) 函数 Sign(const AValue: Double): TValueSign; overload;

3. 浮点数比较

CompareFloat 和 SameFloa）如果epsilon没有给出或者是0，那将试图以一个当前浮点数类型相匹配的误差来计算比较。

1) 函数 CompareValue(const A, B: Extended; Epsilon: Extended = 0): TValueRelationship; overload;

2) 函数 CompareValue(const A, B: Double; Epsilon: Double = 0): TValueRelationship; overload;

3) 函数 CompareValue(const A, B: Single; Epsilon: Single = 0): TValueRelationship; overload;

4) 函数 CompareValue(const A, B: Integer): TValueRelationship; overload;

5) 函数 CompareValue(const A, B: Int64): TValueRelationship; overload;

6) 函数 SameValue(const A, B: Extended; Epsilon: Extended = 0): Boolean; overload;

7) 函数 SameValue(const A, B: Double; Epsilon: Double = 0): Boolean; overload;

8) 函数 SameValue(const A, B: Single; Epsilon: Single = 0): Boolean; overload;

4. 零测试

IsZero: 若值为0（或者是非常非常接近于0）则返回“真”

1) 函数 IsZero(const A: Extended; Epsilon: Extended = 0): Boolean; overload;

2) 函数 IsZero(const A: Double; Epsilon: Double = 0): Boolean; overload;

3) 函数 IsZero(const A: Single; Epsilon: Single = 0): Boolean; overload;

5. 简单易用的条件函数

1) 函数 IfThen(AValue: Boolean; const ATrue: Integer; const AFalse: Integer = 0): Integer; overload;

2) 函数 IfThen(AValue: Boolean; const ATrue: Int64; const AFalse: Int64 = 0): Int64; overload;

3) 函数 IfThen(AValue: Boolean; const ATrue: Double; const AFalse: Double = 0.0): Double; overload;

6. 各种随机函数

1) 函数 RandomRange(const AFrom, ATo: Integer): Integer;

2) 函数 RandomFrom(const AValues: array of Integer): Integer; overload;

3) 函数 RandomFrom(const AValues: array of Int64): Int64; overload;

4) 函数 RandomFrom(const AValues: array of Double): Double; overload;

7. 范围测试函数

1) 函数 InRange(const AValue, AMin, AMax: Integer): Boolean; overload;

2) 函数 InRange(const AValue, AMin, AMax: Int64): Boolean; overload;

3) 函数 InRange(const AValue, AMin, AMax: Double): Boolean; overload;

8. 范围切断函数

1) 函数 EnsureRange(const AValue, AMin, AMax: Integer): Integer; overload;

2) 函数 EnsureRange(const AValue, AMin, AMax: Int64): Int64; overload;

3) 函数 EnsureRange(const AValue, AMin, AMax: Double): Double; overload;

9. 16位整数除法一次调用得出结果和余数

1) 过程 DivMod(Dividend: Integer; Divisor: Word; var Result, Remainder: Word);

10. 圆整到特殊数字或10的幂

ADigit 在37 到-37范围之中，下面是一些示例

3 = 10^3 = 1000 = thousand's place

2 = 10^2 = 100 = hundred's place

1 = 10^1 = 10 = ten's place

-1 = 10^-1 = 1/10 = tenth's place

-2 = 10^-2 = 1/100 = hundredth's place

-3 = 10^-3 = 1/1000 = thousandth's place }

type

TRoundToRange = -37..37;

1) 函数 RoundTo(const AValue: Double; const ADigit: TRoundToRange): Double;

RoundTo函数的变量遵循不对称算术舍入运算法则（如果Frac(X) < 0.5则返回X否则返回X+1）。其缺省凑整到1/100。

2) 函数 SimpleRoundTo(const AValue: Double; const ADigit: TRoundToRange = -2): Double;

九、 金融函数，

遵循Quattro Pro标准,参数约定概念。金钱收入为正，金钱支出为负 (举例来说，借款人偿还贷款则借款人为负)。利率是有支付周期，11%的年度利率，相当于每个月(11 / 100) / 12 = 0.00916667

type

TPaymentTime = (ptEndOfPeriod, ptStartOfPeriod);

1) 函数 DoubleDecliningBalance(const Cost, Salvage: Extended; Life, Period: Integer): Extended;

{ Double Declining Balance (DDB) }

2) 函数 FutureValue(const Rate: Extended; NPeriods: Integer; const Payment, PresentValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

未来值（终值(FVAL）)

3) 函数 InterestPayment(const Rate: Extended; Period, NPeriods: Integer; const PresentValue, FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

利息收入(IPAYMT)

4) 函数 InterestRate(NPeriods: Integer; const Payment, PresentValue, FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

利率(IRATE)

5) 函数 InternalRateOfReturn(const Guess: Extended; const CashFlows: array of Double): Extended;

内部盈利率（利润率）（Internal Rate of Return. (IRR)）需要现金流数组

6) 函数 NumberOfPeriods(const Rate: Extended; Payment: Extended; const PresentValue, FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

周期数{ Number of Periods (NPER) }

7) 函数 NetPresentValue(const Rate: Extended; const CashFlows: array of Double; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

现在净价值，纯现值（Net Present Value. (NPV),需要现金流数组

8) 函数 Payment(Rate: Extended; NPeriods: Integer; const PresentValue, FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

支出 { Payment (PAYMT) }

9) 函数 PeriodPayment(const Rate: Extended; Period, NPeriods: Integer; const PresentValue, FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

支付周期{ Period Payment (PPAYMT) }

10) 函数 PresentValue(const Rate: Extended; NPeriods: Integer; const Payment, FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;

现值{ Present Value (PVAL) }

11) 函数 SLNDepreciation(const Cost, Salvage: Extended; Life: Integer): Extended;

直线折旧{ Straight Line depreciation (SLN) }

12) 函数 SYDDepreciation(const Cost, Salvage: Extended; Life, Period: Integer): Extended;

折旧{ Sum-of-Years-Digits depreciation (SYD) }

十、FPU 异常/精度/舍入管理

以下函数允许你控制FPU行为。控制FPU异常处理，FPU默认精度设置，FPU怎样舍入控制

type

TFPURoundingMode = (rmNearest, rmDown, rmUp, rmTruncate);

1) 函数 GetRoundMode: TFPURoundingMode; 返回当前舍入模式

2) 函数 SetRoundMode(const RoundMode: TFPURoundingMode): TFPURoundingMode;

设置新的舍入模式并且返回旧的模式

type

TFPUPrecisionMode = (pmSingle, pmReserved, pmDouble, pmExtended);

3) 函数 GetPrecisionMode: TFPUPrecisionMode; 返回当前精度控制模式

4) 函数 SetPrecisionMode(const Precision: TFPUPrecisionMode): TFPUPrecisionMode;

设置新的精度控制模式并且返回旧的模式

type

TFPUException = (exInvalidOp, exDenormalized, exZeroDivide,

exOverflow, exUnderflow, exPrecision);

TFPUExceptionMask = set of TFPUException;

掩码中任何元素设置防止FPU产生各种异常。它企图返回一个最好的数值，经常是NaN 或 infinity。数值依靠运算和当前的舍入模式

5) 函数 GetExceptionMask: TFPUExceptionMask; 从控制字中返回异常掩码

6) 函数 SetExceptionMask(const Mask: TFPUExceptionMask): TFPUExceptionMask;

设置新的异常掩码并返回旧的

7) 过程 ClearExceptions(RaisePending: Boolean = True); 清除状态字中任何未定的异常位